이산확률분포에 대하여 요약하여 정리하시오 서론 (2)
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특정한 상황에서 성공과 실패 확률, 혹 아주 희귀하게 발생하는 사건들을 정의하기 위하여 이항분포, 초기하분포, 포아송분포의 방법을 통해 이상치를 살펴보거나, 확률이 등장할 모든 결과들을 살펴보고, 의사결정을 내릴 수 있다. 다음의 본론에서는 이항분포 및 초기하분포, 포아송분포에 대해서 간단명료하게 정리하며 이에 대한 개념들을 전반적으로 익히고, 결론에선 내가 이를 실무에 어떻게 적용할지 생각해본다.
본론
이항분포
이항분포를 설명하려면, 특정한 상황 속에서 특정한 결과가 나올 확률을 구하고, 모든 가능성의 결과들을 정리함을 의미한다. 예를 들어, 1) 공장에서 생산된 제품 검사 결과, 불량/양호품을 분류하는 상황 2) 한 유권자에게 특정 후보의 선호/비선호 정도의 찬반을 질문하는 등의 확률이 그것이다.
위의 실험결과는 어떠한 결과들을 나타낼지 먼저 알기는 어렵지만, 모든 결과들은 표본공간 내에서 불량과 양호, 찬성과 반대 두 가지의 실험이 반복된다. 이러한 반복의 결과 값을 베르누이 시행이라고 하는데, 두 가지의 결과 중 관심 결과가 ‘성공’ 그리고 나머지를 ‘실패’로 구분한다.
성공확률을 p라고 할 때, 성공이면 1, 실패면 0으로 대응시키는 확률변수를 베르누이 확률변수라고 표현한다. 이러한 베르누이 확률변수 X의 확률분포는 다음과 같은 베르누이 분포로 정의할 수 있다.
P(X = x) = px(1 - p)1 - x, x = 0, 1
위와 같은 식을 대입한 베르누이 시행은 여러 번 반복한 결과, 성공의 횟수를 알아보기 위해 활용한다. 또 다른 예로, 동전을 5번 던져 앞면이 나오는 횟수, 혹 먼저 세운 예시와 같이 공장에서 생산된 제품 100개 검사 결과, 불량품 개수를 세어 보는 방법 등이 그것이다. 동일한 성공 확률을 가진 베르누이 시행을 독립적으로 반복한 후, X = 성공횟수의 분포를 이항분포라 하고, 기호는 B(n, p)로 나타낸다. N번 베르누이 시행을 시행했을 때, 성공확률의 이항분포 확률계산은 다음과 같은 식으로 정의할 수 있다.
P(X = x) = ( pn-x, x = 0, 1, 2 … , n
이항분포의 평균은 E(X) = np이고, 분산은 Var(X) = np(1-p) 이다. 또, n = 1일 , 이항분포 B(n, p)는 1의 확률을 가진 p의 베르누이 분포이다. 이 상황에서 베르누이 확률변수의 평균/분산을 구한다면 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.
E(X) = p, Var(X) = p(1-p)
초기하분포
초기하분포를 가정하기 위하여, 마찬가지러 송공과 실패 두 개의 값을 가정해본다. 두 가지의 특성값을1과 0으로 표기하고, 전체 N 중 1이 D개, 0이 N-D개인 유한모집단의 크기 n의 랜덤표본을 가정한 이후, 1이 나오는 수를 확률변수 X로 가정한다.
표본크기 n가 D, N-D보다 작을 때, 확률변수는 X는 0~n까지의 값을 가질 수 있으며, X=x일 확률, 즉 x개가 1이고, n-x개가 0일 때 확률식을 정의하면 다음의 식과 같다.
P(X=x) = (
이 식에서 초기하분포 확률을 구하고자 한다면, x는 D보다 크면 안 되고, n-x는 N-D보다 크면 안 된다는 가정이 따른다. 이를 식으로 정리하면,
n
이다.
권혁무(2017). 통계학개론. 서울: 청람.