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hwp확률변수 X의 분산이 9일 때, 확률변수 X에 각각 4배를 곱하여 만든 새로운 확률변수 Y의 표준편차 값을 구하시오.
행정계량분석
1. 확률변수의 개념 및 확률변수와 표본평균 간의 관계를 간단히 기술하시오. (4점, 불완전한 답일 경우 그 정도에 따라 감점)
확률변수는 무작위로 실행한 확률 실험 시 발생하는 기본결과에 대해 일정한 규칙과 약속 혹은 정의에 따라 특정 수치를 부여한 것이다. 표본 내 각 원소에 대해 한 개의 값을 대응시켜주는 함수가 되는 것이다. 예를 들어 임의로 진행되는 실험이 있다고 가정한다. 이 실험은 두 개의 동전을 던지는 것이다. 두 개의 동전을 동시에 던지고 앞면이 나타나는 횟수를 확인하기 위한 실험에서 앞면과 뒷면을 각각 H, T로 두었을 때 나타날 수 있는 표본은 HH, HT, TH, TT이다. 이때 확률은 각각 1/4이다. 이때 앞면이 나타날 때마다 1을 부여한다면 새로운 표본이 나타나게 된다. TT의 경우 0, HT의 경우 1, TH의 경우 1, HH의 경우 2가 된다. 그리고 이때 각 변수가 나타날 수 있는 확률은 0의 경우 1/4, 1의 경우 1/2, 2의 경우 1/4로 변하게 된다. 이렇게 확률변수는 확률이 나타날 수 있는 것이 서로 다르고, 각 상황을 대표할 수 있는 변수가 되는 것이다. 이러한 확률변수와 표본평균 사이의 관계는 다음과 같다. 표본평균 또한 확률변수라고 할 수 있다. 모집단에서 규칙성 없이 추출된 표본 각각이 하나의 기본적인 결과가 된다. 표본평균을 구하기 위한 모든 과정이 기본결과에 특정 규칙을 이용하여 수치로 나타내는 과정이다. 따라서 표본에서 산출하여 도출해낸 표본평균 값은 확률변수 그 자체가 되는 것이다. 확률변수들이 모이면 확률분포가 되듯, 무작위의 표본들의 평균이 모이게 되어도 하나의 확률분포를 만들어낸다. 전체 모집단에 대하여 평균과 분산을 구하는 것은 매우 어려운 일이기 때문에 전체 모집단에서 일부분의 표본을 추출하여 이 표본집단의 평균과 분산을 도출해낸 후 모집단 전체의 평균과 분산을 추정할 수 있다.
2. 확률변수 X의 분산이 9일 때, 확률변수 X에 각각 4배를 곱하여 만든 새로운 확률변수 Y의 표준편차 값을 구하시오. (3점, 풀이과정 없이 정답만 쓰면 감점)
분산은 편차의 합이 항상 0이기 때문에 직접적으로 편차의 평균을 구하는 것이 불가능하기 때문에 만들어진 개념이다. 이때, 각 편차의 제곱의 합을 전체 표본의 개수로 누어준 것이다. 표준편차는 이러한 분산의 제곱근 값이 된다. 확률변수의 기댓값은 특정 확률변수가 가질 것으로 예측되는 값이다. 즉, 각각의 확률변수를 각각의 확률로 곱해준 후 모두 더해준 값이다. 확률변수의 분산은 각각의 확률변수에서 편차를 구해 그 제곱값을 확률로 곱하고 모두 더해준 값이 된다. 그리고 확률변수의 표준편차는 그렇게 도출해낸 확률변수의 분산에 대하여 제곱근을 하여 도출해낸 값이 되는 것이다. 확률변수는 몇 가지 특성이 있다. 먼저 확률변수 X에 대하여 일정한 값을 곱했을 경우 그 확률변수의 기댓값은 원래 기댓값에 상수를 곱한 것과 같다. 그리고 확률변수 X에 일정한 상수 k를 곱하여 도출해낸 새로운 확률변수의 분산은 원래 확률변수의 분산에 상수 K의 제곱을 곱한 것과 같다. 마지막으로 확률변수 X에 특정 상수 K를 곱했을 때 새 확률변수의 표준편차는 원래 확률변수의 표준편차 값에 상수 K를 곱해주는 것과 같다. 따라서 확률변수 X의 분산이 9일 때, 표준편차는 분산의 제곱근, 즉 sqrt { 9}가 되므로 결과적으로 3이 된다. 이때 확률변수 X에 대하여 각각 4배를 곱하여 만들어준 확률변수 Y에 대한 표준편차 값은 기존 확률변수 X에서 도출된 표준편차 값인 3에 4를 곱해준 값인 12가 결과적으로 도출된다.
3.
Z 값
0에서 Z까지의 확률
0.5
행정계량분석. 문병기 지음. 출판문화원. 2023년