수학의 역사 피타고라스 학파 무리수 무리수의 발견 유리수와 무리수
분야
hwp★무리수의 발견
정수는 어떤 유한개의 대상을 세는 과정에서 일어난 추상적 개념이다. 일상생활을 영위하기 위해서 개개의 대상을 세는 것 뿐만 아니라 길이, 무게, 시간과 같은 다양한 양을 측정할 필요가 있다. 이러한 간단한 측정의 필요를 축종시키기 위해서는 분수가 필요하다. 우리가 유리수(rational number)를 두 정수의 상 p/q(q !=0)로서 정의하면 이 유리수 체계가 모든 정수와 분수를 포함하므로 실제적인 측정의 목적을 위해서라면 그것으로 충분하다.
유리수는 간단한 기하학적 해석을 갖는다. 수평선 위에 서로 다른 두 점 O와 I를 표시하자. 이때 I가 O의 오른쪽에 오도록 하고 선분 OI를 길이의 단위로 취한다. 만일 O와 I가 각각 수 0과 1을 나타내도록 하면 양의 정수와 음의 정수가 모두 이 직선 위의 한점으로 나타낼 수가 있다. 이때 양의 정수는 O의 오른쪽에 위치하도록 나타내고 음의 정수는 O의 왼쪽에 위치하도록 나타내자. 그러면 분모가 q인 분수는 단위 구간을 q등분할 때의 각 분점에 의해 표현된다. 그래서 각 유리수는 이 직선상의 한 점이 될 것이다. 초기 수학에서는 직선 위의 모든 점이 이런 식으로 완전히 덮혀질 수 있을 것으로 생각하였다. 그러므로 직선 위에 어떤 유리수에도 대응되지 않는 점이 존재함을 알았을 때 그 충격이 얼마나 큰 것이었는지는 상상하고도 남을 것이다. 특히 피타고라스 학파는 거리OP가 단위변을 갖는 정사각형의 대각선일 때 직선 위의 점 P에 대응하는 어떤 유리수도 없음을 보였다. 따라서 그러한 점에 대응하는 새로운 수가 발견되어야 했고 이러한 수가 유리수가 아니었으므로 그들을 무리수(iational number)라고 부르게 되었다. 그리하며 무리수의 발견은 수학사에서 하나의 거대한 이정표를 채우게 되었다.
★ 유리수와 무리수
유리수
무리수
분수(fraction) 혹은 비율(ration)형태로 표현될 수 있다.
분수형태로 표현될 수 없다.
소수형태로 표현하면 소수점이 딱 떨어지거나 혹은 순환 소수이다.
소수점이 정리되지 않거나 비순환 소수이다.