분야
hwp체계적인 연습의 위계와 문제의 체계화
Ⅰ-1. 연습대상
인수분해 공식
▶ x ^{2} ±(a+b)x+ab=(x±a)(x±b)
▶ acx ^{2} +(ab+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) (a,``c는 양수로 한다.)
Ⅰ-2, 3 연습의 순서 및 양
이차항의 계수가
1인 경우
순 서
연습문제
비고
모든 항이 양수인 경우
x ^{2} +6x+5
x ^{2} +5x+6
계수의 부호에 변화를
주었을 경우
x ^{2} +2x-8
x ^{2} -4x+3
x ^{2} -5x-6
두 개의 문자에 대해서
이차식의 경우
x ^{2} +7xy+10y ^{2}
x ^{2} -4xy-5y ^{2}
공통인수가 묶어지는 경우
ax ^{2} -5ax+4a
이차항의 계수가
1이 아닌 경우
순 서
연습문제
비고
모든 항이 양수인 경우
2x ^{2} +7x+3
3x ^{2} +10x+8
계수의 부호에 변화를
주었을 경우
2x ^{2} +7x-22
8x ^{2} -14x+3
4x ^{2} -5x-6
공통인수가 묶어지는 경우
3ax ^{2} -11ax-20a
두 개의 문자에 대해서
이차식의 경우
12x ^{2} +23xy+10y ^{2}
4x ^{2} +4xy-3y ^{2}
3a ^{2} -7ab+2b ^{2}
2x ^{2} -4xy-6y^2
18mx ^{2} +42mxy+12my ^{2}
Ⅱ-1. 바탕문제
(문제1) 6x ^{2} +11x+4를 인수분해 하여라.
(풀이) 6x ^{2} +11x+4=(2x+1)(3x+4)
Ⅱ-2. 바탕문제에서 얻은 수학적 지식을 이용한 문제의 사슬
: 바탕문제의 결과를 이용한 문제로 구성한다.
즉, 본질은 변화시키지 않고 구체적이고 비본질적인 것에 변화를 주어
개념의 이해를 돕는다.
(문제2_1) 6x ^{2} +11x+4가 2x+1으로 나누어 떨어질 때, 몫을 구하여라.
(풀이) 6x ^{2} +11x+4이 2x+1로 나누어 떨어지므로
6x ^{2} +11x+4=(2x+1)Q 와 같이 나타낼 수 있다.
6x ^{2} +11x+4=(2x+1)(3x+4)에 의해
Q=3x+4
그러므로 몫은 3x+4이다.
(문제2_1) 밑변의 길이가 2a+1이고 넓이가 6a ^{2} +11a+4 일 때,
이 삼각형의 높이는?
(풀이) 삼각형의 넓이 = {1} over {2}(밑변×높이)이므로
6a ^{2} +11a+4=` {1} over {2} (2a+1) TIMES h, (h: 높이)
6a ^{2} +11a+4=(2a+1)(3a+4)이므로
h= {1} over {2} (3a+4)
따라서 이 삼각형의 높이는 {1} over {2} (3a+4)이다.
(문제2-2) 최대공약수가 2x+1, 최소공배수가 6x ^{3} +11x ^{2} +4x이고
이차항의 계수가 1이 아닌 두 이차다항식 f(x),````g(x)라 할 때,
f(1)+`g(1)의 값은?
(풀이) 구하는 두 이차다항식을 f(x),````g(x)라 하면
f(x)=a(2x+1),````g(x)=b(2x+1) (a,```b는 서로소)
최소공배수가 6x ^{3} +11x ^{2} +4x이므로
6x ^{3} +11x ^{2} +4x=ab(2x+1)
ab=`3x ^{2} +4x
=x(3x+4)
a,```b는 서로소인 일차식이므로
a=x,``````b=3x+4` (또는 a=3x+4,```b=x)
따라서 구하는 두 다항식은 f(x)=x(2x+1)=2x ^{2} +x
g(x)=`(3x+4)(2x+1)=6x ^{2} +11x+4
그러므로 f(1)+`g(1)=3+21=24
(문제3_1) 6(x-1) ^{2} +11(x-1)+4를 인수분해 하여라.
(풀이) x-1을 T로 치환하면, 6T ^{2} +11T+4
6x ^{2} +11x+4=(2x+1)(3x+4)이므로
6(x-1) ^{2} +11(x-1)+4=6T ^{2} +11T+4=(2T+1)(3T+4)
= LEFT { 2(x-1)+1 RIGHT } LEFT { 3(x-1)+4 RIGHT }
=(2x-1)(3x+1)
(문제3_2) f(x)=6x ^{3} +mx ^{2} +nx+4가 6x ^{2} +11x+4로 나누어 떨어지도록 상수
m,```n의 값을 정하여라.
(풀이) f(x)=6x ^{3} +mx ^{2} +nx+4=(6x ^{2} +11x+4)Q(x)
=(2x+1)(3x+4)Q(x)
f(- {1} over {2} )=m-2n+13=0 ------- ㉠
f(- {4} over {3} )=16m-12n-92=0 ------- ㉡
㉠, ㉡에 의해 m=17,```n=15
Ⅱ-3. 바탕문제의 풀이에서 얻을 수 있는 탐구방법
(ⅰ) 대각선법
6x ^{2} +11x+4을 인수분해하기 위해서 인수분해 공식과 비교하여 보면,
6x ^{2} +11x+4
acx ^{2} +(ad+bc)x+bd
즉, ac=6,`````ad+bc=11,`````bd=4을 만족하는 네 수 a,```b,```c,```d를 찾으면
6x ^{2} +11x+4=(ax+b)(cx+d)와 같이 인수분해 될 수 있다.
먼저 ac=6에서 두 양의 정수의 순서쌍 (a,```c)을 구하면
(1,```6),```(6,```1),```(2,```3),```(3,```2) 이고
bd=4에서 두 정수의 순서쌍 (b,```d)를 구하면
(1,```4),```(4,```1),```(2,```2),```(-1,```-4),```(-4,```-1),```(-2,```-2) 이다.
이 두 쌍을 아래 그림과 같이 나열하고 대각선으로 곱하여 합하면 ad+bc가
되므로 이것이 11이 되는 쌍을 찾는다.
`````a```````````````b````` -> ``````bc#
`````c```````````````d````` -> ``````ad#
-----------#
```````````````````````````````````````ad+bc
`````2```````````````1````` -> ``````3#
`````3```````````````4````` -> ``````8#
-----------#
`````````````````````````````````````````````11
a=2,```````b=1,`````c=3,``````d=4이므로
6x ^{2} +11x+4=(2x+1)(3x+4)
(ⅱ) 대수타일에 의한 방법
다항식의 곱셈이라는 대수식과 직사각형의 넓이라는 기하적인 개념간의 연
결성을 경험할 수 있고, 직관적이다.
x ^{2} = , x = , 1 = 이라 약속할 때,
6x ^{2} +11x+4=(2x+1)(3x+4)인 경우
각 항을 위에 나타나있는 도형으로 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있다.
위의 대수타일은 아래의 그림과 같은 모양의 직사각형으로 만들 수 있고,
이 때 이 직사각형의 넓이는 (가로)×(세로)=(3x+4)(2x+1) 이므로
6x ^{2} +11x+4=(2x+1)(3x+4)이다.
따라서 다항식의 인수분해를 직사각형의 넓이를 이용하여 해결할 수 있다.
3x+4
2x+1
Ⅱ-4. 바탕문제의 해결에서 얻은 수학적 탐구방법이
문제해결의 바탕이 되는 문제의 사슬을 구성한다.
: 바탕문제 결과를 얻기까지의 탐구과정이 이용된 문제로 구성
- 대각선법을 이용한 문제
(문제4) 식 6x ^{2} +Ax+4가 두 일차식의 곱으로 인수분해 될 때,
A에 알맞은 정수를 모두 구하여라.
(풀이) 6x ^{2} +Ax+4를 인수분해 공식과 비교하여 보면,
6x ^{2} +Ax+4
acx ^{2} +(ad+bc)x+bd
즉, ac=6,`````ad+bc=A,`````bd=4을 만족하는 네 수 a,```b,```c,```d를 찾으면
6x ^{2} +Ax+4=(ax+b)(cx+d)와 같이 인수분해 될 수 있다.
먼저 ac=6에서 두 양의 정수의 순서쌍 (a,```c)을 구하면
(1,```6),```(6,```1),```(2,```3),```(3,```2) 이고
bd=4에서 두 정수의 순서쌍 (b,```d)를 구하면
(1,```4),```(4,```1),```(2,```2),```(-1,```-4),```(-4,```-1),```(-2,```-2) 이다.
따라서 가능한 A의 값은 10,```11,```14,```-10,```-11,```-14 이다.
- 대수타일을 이용한 문제
다항식의 인수분해를 직사각형의 넓이를 이용하여 해결하기.
(문제 5)x에 관한 이차식 x ^{2} +11x+k가 (x+a)(x+b)로 인수분해 될 때,
k의 최대값은? (단, a,```b는 자연수)
(풀이)
+x ^{2}
+11x
+k
ⅰ)x ^{2} +11x+k
= (x+10)(x+1)
= x ^{2} +11x+10
∴k=10
ⅱ)x ^{2} +11x+k
= (x+9)(x+2)
= x ^{2} +11x+18
∴k=18
ⅲ)x ^{2} +11x+k
= (x+8)(x+3)
= x ^{2} +11x+24
∴k=24
ⅳ)x ^{2} +11x+k
= (x+7)(x+4)
= x ^{2} +11x+28
∴k=28
ⅴ)x ^{2} +11x+k
= (x+6)(x+5)
= x ^{2} +11x+30
∴k=30
곱셈의 교환법칙에 의해서 (가로)(세로)=(세로)(가로)이므로 a,```b는 자
연수일 때, k가 될 수 있는 모든 경우는 위의 5가지 경우이고
따라서 k=30이다.
직사각형의 넓이를 이용하여 해결하면 a와 b의 차의 절댓값이 가장 작
을 때 a TIMES `b이 가장 커진다는 것을 시각적으로 볼 수 있기 때문에 학생
들이 더욱 직관적으로 쉽게 이해할 수 있다.
(문제6) -6x ^{2} +11x-3을 인수분해 하여라.
(풀이) 이 문제를 해결하기 위해서는 바탕문제를 해결했던 대수타일로는 해
결이 불가능하다. 왜냐하면 위의 대수타일로는 -x ^{2}, -x ^{}, -1을 표
현 할 수 없기 때문이다. 위와 같은 대수 타일로는 다항식의 모든 항
이 양수 값인 경우에만 사용가능하다.
이러한 이유로 대수와 기하의 연결성을 자극시켜주고 신장시켜줄 수
있는 다항식의 인수분해를 직사각형의 넓이를 이용하여 해결하는 방
법을 포기하기에는 너무 아쉬워 어떻게 하면 계속하여 도형의 넓이로
다항식의 인수분해를 할 수 있을 지 고민해 보았다.
이때 중학교 7-가에서 배우게 되는 부호의 개념과 좌표의 개념을 함
께 사용하면