분야
hwp(1) 자연에서의 프랙탈 구조
(2) 수학적 도형으로서의 프랙탈
(3) 그 밖의 프랙탈
2. 피보나치 수열
(1) 자연계에서의 피보나치 수열
(2) 그 밖의 피보나치 수열의 예
3. 황금나선
(1) 자연 속에 숨겨진 황금나선
(2) 황금나선에 대한 수학적 이해
4. 황금비
(1) 건축물과 예술품에서의 황금비
(2) 인체에 숨은 황금비
(3) 생활속의 황금비
(4) 황금비의 닮은 꼴 ‘금강비’
5. 소수
(1) 자연 속의 소수
6. 자연 속의 수학
(2) 그 밖의 피보나치 수열의 예
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피아노 건반은 흰색 건반 8개와 검은색 건반 5개로 기본 13옥타브로 구성되어 있다. 또, 검은색 건반은 2개, 3개가 각각 나란히 붙어 있어 2, 3, 5, 8, 13 등의 피보나치 수열을 이루고 있음을 알 수 있다.
3. 황금나선
자기 닮은 성질인 ‘프랙탈’과 ‘피보나치 수열’의 성질을 지닌 나선 형태로서, 일반적으로 두루마리 휴지를 말아놓은 모습과 같은 “아르키메데스 나선”에서 움직임을 변형한 “로그 나선”의 특별한 경우 중 하나임이 데카르트에 의해 알려졌다.
이 나선의 성질 중 눈에 띄는 것은 어떤 점에서 접선을 그어도 그 각이 일정하게 유지된다는 점이다.
(1) 자연 속에 숨겨진 황금나선
자연계에서 발견되는 로그나선으로는 앵무조개나 암모나이트의 단면, 나선 은하, 저기압 근처에서의 소용돌이 모양 등이 있는데 접선과의 각도가 다름에 따라 그 모양이 조금씩 달라진다. 앵무조개와 같은 동물들은 접선과의 각도가 대략 80°∼85° 정도인데 납작하고 빈틈없이 잘 말린 모양으로 자라게 된다고 한다. 반면 사슴의 뿔은 접선과의 각도가 작고 나선의 안쪽과 바깥쪽의 성장 속도가 다름에 따라 나선의 틈이 벌어지면서 자란다.
(2) 황금나선에 대한 수학적 이해
로그나선이 주목받는 이유는 나선의 중심을 기준으로 작은 부분을 보나 전체를 보나 닮았다는 점이다.
피보나치 수열과 관계 있는 황금나선을 통해 이를 좀 더 자세히 알아보면, 한 변의 길이가 각각 1, 1, 2, 3, 5, 8, …이 되도록 정사각형을 그림과 같이 잇대어 그린 후 반원을 연이어 그리면 황금나선이 그려진다.
황금나선은 로그나선의 특별한 경우라는 것이 데카르트에 의해 알려졌다고 한다. 황금나선의 바탕이 되는 사각형을 작은 단위로 떼어 관찰하면 어떤 부분을 떼어내어도 전체와 닮았다는 사실을 직관적으로 확인할 수 있다.
생물체가 자신의 내재된 질서로 황금나선을 택했다면 나선 위의 어떤 점에서든 접선과 이루는 각이 같으므로 일정한 방향으로 일정한 모양을 계속 반복하여 복제하기만 하면 전체적인 형태를 유지하면서 자랄 수 있으니 매우 편리하다. 아르키메데스 나선을 선택했다면 성장의 매 순간마다 전체적인 모양과 방향을 유지하기 위해 계속 결정을 내려야만 했을 것이고, 이는 매우 복잡한 일이 될 것이다.
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4. 황금비