감상문 피타고라스 정리의 비밀 피타고라스 정리의 비밀 감상평
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1부는 고대의 이집트나 메소포타미아, 그리스에서의 삼각형의 흔적을 찾아 보는 내용이다. 특히나 중점적으로 다루는 부분은 그리스의 한 작은 섬인 사모스 섬의 유팔리노스 터널을 어떻게 뚫었을까?하는 문제를 위주로 하여 1부가 진행된다. 먼저 이 터널을 만든 이유부터 설명하자면 이 사모스 섬은 위치상으로 보았을 때 왜적으로 부터 침입을 받을 수 있는 한 가운데에 자리잡고 있다. 그래서 요새로 삼을 만한 곳이 남쪽에 있어서 그 주위를 성벽을 쌓고 사람들이 생활을 한다. 하지만 점차 인구의 수가 늘어나자 이들이 먹을 식수가 부족해지기 시작했다. 이들이 자리잡고 있는 남쪽에는 식수로 사용할 물이 부족했지만 북쪽에는 여러 강들로 인해 많은 물이 흐르고 있었다. 그래서 그러한 물들을 남쪽으로 흐르게 하려고 하는데 남쪽과 북쪽사이에 있는 커다라 바위산으로 인해 쉽지 않았다. 그래서 사람들이 생각한 것이 바위산에 터널을 뚫어 북쪽의 많은 물을 터널 밑으로 흐르도록 만들어 지하수를 성안으로 끌어드리록 하는 것이다. 그러나 이러한 방법 역시 문제가 생겼다. 남쪽과 북쪽, 양쪽 끝에서 뚫기 시작하여 어떻게 하면 가운데에서 정확하게 만나느냐?는 문제와 북쪽의 물이 남쪽으로 고도를 유지하면서 잘 흘러내릴 수 있는가?하는 것이다. 여기서 헤론이 추측한 것은 첫번째 문제인데 그는 이 사모스 사람들이 이러한 문제를 해결하기 위해 직각삼각형을 이용했다는 것이다. 터널의 북쪽 끝에서 고도를 유지하면서 산의 서쪽 둘레를 직각으로 이동하면 서쪽과 남쪽의 이동거리를 알 수 있다. 이것을 통해 만들어진 직각삼각형은 높이와 밑변의 길이를 통해서 빗변이 하나 만들어진다. 그래서 이 빗변은 터널의 위치와 방향을 나타내는 것이다. 이러한 삼각형에 대한 수학적 지식과 그들의 측량술로 뚫기 시작했다. 그러나 가운데 쪽에 보면 약간 꺾여 있는 부분이 있는데 이는 반대쪽에 있는 곳과 잘 만날 수 있도록 하는 확률을 높이기 위해서 의도적으로 꺾었다는 추측이 있다. 이와같은 우여곡절 끝에 터널 공사가 성공적으로 이루어져서 남쪽의 사람들이 사용할 식수가 충분해지게 되었다. 기하학을 영어로 하면 다들 알고 있듯이 geometry이다. geo-는 토지를 metry는 측량을 나타낸다. 이는 고대 이집트인들이 나일강의 범람 후에 그들의 땅을 복원하기 위해 사용한 것에서 유래되어 지금까지 사용하고 있다. 이렇듯 고대에는 우리가 생각하는 이상으로 도형의 원리를 잘 이해하고 있었고 그것을 바탕으로 삶의 문제를 해결해나가는 실용적인 용도로 많이 사용되었다. 고대의 사람들이 도형, 그 중에서도 삼각형에 대해서 깊이있는 관심을 가지고 있었고 많은 흔적을 남겨주고 있는데 1부를 보면서 과연 삼각형이 무엇이길래 이렇게 많이 사용했던 것일까?하는 의문을 가지며 앞으로의 2부와 3부에 대한 호기심을 가지게 되었다.
2부와 3부에서는 1부에서 좀 더 나아가 피타고라스 정리에 대해 살펴보는 내용이다. 1920년대 즈음에 한 지역에서 많은 점토판이 발견되었다. 그 중에서도 매우 비밀스러운 숫자를 가진 한 점토판(플림튼322)이 있는데 이 점토판은 약 3700여년 전 바빌로니아시대에 살았던 바빌로니아인들이 사용했던 것으로 추정되고 있다. 그런데 그 점토판에 있는 숫자들이 규칙이 있다는 것을 발견하게 된다. 그것은 바로 15개의 직각삼각형을 만족시키는 두변의 길이가 표기 되어있다는 것이다. 이것은 우리가 잘 알고 있는 피타고라스 정리이다. 그러면 피타고라스가 태어나기 1000년 전에도 사람들이 피타고라스의 정리를 알고 있었다는 것이다. 나는 피타고라스가 이 정리를 발견하게 된 것도 경이로운 상황인데 이 사실을 바빌로니아인들도 알고 있었다고 하니 도저히 믿기지 않는다. 현재 현대인들도 우리 생활에 있어서 필요한 매우 유용한 물건들을 발명하고 새로운 기술들로 인해 우리의 삶을 편리하게 만들도록 해주고 있다. 이러한 면에서 현대인들도 놀라운 능력을 가지고 있다고 할 수 있지만 기술이나 문명의 혜택을 전혀 받지못한 상태에서의 바빌로니아인들이 자신들끼리의 의견 교환을 통해 직각삼각형의 원리를 알았다는 것이 실로 더 놀랍다. 이러한 상황을 봤을 때 역사를 배우는 이유는 여기에 있지 않나 쉽다. 이처럼 과거에는 우리가 알지 못하는 무수히 많은 사실을 가지고 있었으며 현재 우리가 깨닫지 못하는 것들은 물론 아직 발견 혹은 발명하지도 못한 것들 역시 매우 많았을 것이다. 또 우리는 최근에서라도 이러한 사실들을 가지고 많은 연구를 통해 좀 더 나아가는 현대인이 되어야 하는 것이 고대인들에 대한 우리의 보답이 아닐까?쉽다.
영상에 나왔던 피타고라스 학파의 이야기를 하자면 그들은 원하지 않는 발견을 하게 된다. 그것은 바로 알로곤(무리수)의 발견이다. 피타고라스학파는 어떤 경우에도 모든 수는 정수의 비로 나타낼 수 있다고 했다. 그런데 한 변이 1인 정사각형의 대각선의 길이는 분수로 나타낼 수 없다는 것을 발견하게 된다. 그 대각선의 길이는 루트2 즉, 1.414…인 무리수의 존재를 발견하게 된 것이다. 그러나 피타고라스 학파가 무리수를 발견하기 이전에도 발견한 사람들이 있다. 바빌로니아 시대의 한 점토판(YBC7289)을 보면 하나의 정사각형을 볼 수 있는데 이 정사각형 안에는 수가 적혀 있는데 그것은 1.41421296이다. 이 숫자는 우리가 알고 있는 루트2이다. 이것을 보면 3700여년 전 바빌로니아인들도 무리수의 존재를 알고 있다는 것을 알 수 있다. 이러한 사실을 만약 피타고라스 학파가 알았다면 매우 재미있는 상황을 볼 수 있을 것 같은 상상을 하게 된다. 피타고라스 학파에게 있어서 수의 확장이란 믿을 수 없는 사실이고 받아들이기 힘들었을 것이다. 내가 학생들을 가르치면서도 수의 개념이 하나씩 확장 될 때마다 학생들이 혼란스러워하는 모습을 많이 봤었고 나 역시도 학생이었을 때 많이 겪었었다.
다시 본론으로 돌아와서 피타고라스 정리가 발견된 이후 세월이 흘러 사람들이 이 피타고라스 정리에 대해 조금씩 의문을 가지게 되었다. 그래서 실험한 것이 우리나라 지도위에서 세 점을 잡아 직각삼각형을 하나 만든 뒤 실측한 후에 피타고라스의 정리를 적용해 봤을 때 오차가 생겼다. 여기서 좀 더 나아가 세계 지도위에서 세 점을 잡아 직각삼각형을 만들어서 똑같이 계산해 보았더니 우리나라 지도위에서 했던 결과보다 더 큰 오차가 생겼다. 그 이유를 살펴보면 지구는 구면이라는 사실을 알아야 한다. 즉, 지구 위에서 실측한다면 직선이 아니라 곡선으로 되는 것이다. 그래서 우리가 알고 있는 삼각형의 내각의 합은 180도가 성립되지 않고 180도보다 더 큰 내각의 합이 나온다. 그래서 지구와 같은 구면위에서의 피타고라스 정리는 성립되지 않는다는 것을 볼 수 있다. 잠깐 지구가 둥글다는 것에 이야기를 하자면 이러한 사실을 안 것은 고대의 수학자들도 알고 있었다. 고대의 에라토스테네스는 지구가 둥글다는 사실을 알고서는 지구의 둘레를 재기로 한다. 우선 태양과 직각을 이루는 수직구조물과 그림자의 끝선이 이루는 각을 알아본 뒤 직각삼각형의 성질을 이용해서 그는 지구의 둘레를 알아내었다. 이러한 사실을 보았을 때 고대의 수학자들은 직각삼각형의 성질과 원리를 잘 이해하고 있었고 그것을 바탕으로 많은 문제들을 해결하는 것을 볼 수 있다.
신이 아닌 인간중심의 문화를 기준으로 하는 르네상스 시기의 부르넬리스키라는 한 건축가는 가까운 것은 작게 그리고 먼 것은 크게 그리는 원근법을 발견하게 된다. 그리고 이 시기에는 모든 것을 정확하고 아름답게 그리는 것이 분위기였기 때문에 수학과 기하학에서 비롯된 원근법을 많은 화가들이 사용했다. 우리가 잘 알고 있는 최후의 만찬 역시 원근법을 잘 사용한 작품이다. 이렇게 기하학을 이용한 공간에 대한 개념의 확장으로 화가들에게 새로운 공간을 주었다. 그리고 이러한 공간에 대한 개념의 확장으로 수학에서도 새로운 공간을 만들어 주게 되었는데 어느 한 도심에 4구역으로 나누어져 있는 곳에서 7개의 다리를 놓고 다리를 한번만 지나가고 모두 건너가는 문제이다. 당시에는 이 문제를 풀지 못하다가 수학자인 오일러가 이 문제를 풀었다. 그는 같은 다리를 한번만 건너가서는 7개의 다리를 건널수 없다는 것을 증명한 것이다. 이것을 바탕으로 그는 공간에 대한 새로운 해석으로 위상기하학이라는 새로운 공간을 열게 된 것이다.